微积分这三个字想必大家都听说过，大部分人都觉得它很神秘，很“高冷”，草稿先生写这篇文章就是想让大家初步了解下微积分，知道“哦，原来微积分就是这么回事”，减少对它的恐惧感。今天的这篇文章，保证让0基础的人都能看懂（看不懂就刷新一下
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）既然是科普文，就以普及知识为目的了，有些地方可能就没有那么严谨，请见谅图片
进入正题，0基础都能看懂的微积分
00 基础知识
虽然说是这么说的，但真的0基础确实听不懂，所以草稿先生很贴心地准备了一些基础知识：
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附：两点确定一条直线。
1^2+2^2+...+n^2=1/6 * [ n (n+1) (2n+1) ]
常数：在函数中固定不变的数
v-t图像：表示速度与时间的关系
01 什么是微积分
我第一次见到这几个字是在《可怕的数学》里的某一本书看见的，当时傻乎乎得啥也不知道，以为积分就是游戏里的得分，微分就是个类似的东西
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后来才知道它的真正含义。首先大家要明白，微分和积分是两个东西，不是一个东西。从字面意思上也能知道，微分的大概意思就是把一个东西分开研究这些小部分，积分的大概意思就是把很多小东西合到一起（比如积木，积少成多都是这个意思），了解了这些就会更加容易地理解微积分。02 微分
既然它的名字是“微积分”而不是“积微分”，那我们就从微分说起吧。要了解微分，首先需要知道斜率和导数。
首先从斜率说起。斜率通俗点说就是倾斜程度（很通俗啊）。比如开车，这段路陡，倾斜程度就大；这段路平，倾斜程度就小。
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直线的斜率k，就是从直线一个点到另一个点的垂直距离（Δy）除以它们的水平距离（Δx），即
k=Δy/Δx.同一条直线上的k都一样。
（如果觉得不好理解可以联想买菜，买菜的时候一块钱1公斤，两块钱2公斤，五毛钱半公斤，不管买多少菜的价格都是一块钱1公斤）
直线的斜率是好求了，那曲线怎么求？就比如第一张图上的曲线F(x)，一会儿快速上升一会儿缓慢上升，更有甚者（比如第一张图的G(x)），居然还玩起了下降，这就导致曲线每一点上的斜率不都一样，看来我们是无法求整条曲线的斜率了（因为不存在），那有没有办法求一个点的斜率呢？答案是，有的。
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我们取曲线左边的很多点An，一个一个和A（x0,y0）连线，会发现所得直线越来越趋近于直线l，当An与A的距离无限小但不等于0（等于0的时候两点重合，一点无法确定一条直线）的时候，就把AnA（直线l）叫做曲线F(x)的切线（在这个图的情况下，如果从右边开始使也有一样的结果）关于点A的切线在A附近只与曲线交于A点。
切线是当An与A两点之间距离无穷小的时候确定的直线。作为一条直线，它也有它的斜率k=Δy/Δx.（只不过Δx和Δy都接近0，但它们的比值却越来越接近一个固定的数，这个固定的数就是该点切线的斜率）
这是莱布尼茨的研究成果，他把Δx和Δy重新取名为dx和dy，把它们称为微分，就得到了切线的斜率为k=dy/dx.
如果听到这儿你还觉得比较轻松，那么恭喜你，微分部分的内容，就是这些。
有了这个公式，人们就开始研究起曲线各点的斜率了，比如一个很常见的函数y=x^2，人们就研究出来函数在点（1，1）处的斜率是2，在点（2，4）处的斜率是4，……但是有没有一种办法把这条曲线上所有点的切线斜率都表示出来呢？
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经过数学家的不断努力探索，最后还就真找到了可以表示曲线斜率的工具：导数。导数的意思就是表示曲线在某一点时的斜率，比如上面这个函数的导数就是y'=2x.（带进去上面的数试一试可以发现是满足的）求导数（求导）有特殊的运算方法，基本上可以把所有函数的导数都算出来（甚至是像y=x^11+4x+5.14/x +2.5^x这样的或者更复杂的函数）。（求导是一个运算，打'表示导数）
（C，a，μ都是常数）
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在这张表里面别的都不用看，就看上下两个（1）就行了，一个常数函数（比如y=1）的导数是0，把它和其他函数相加，新函数的导数与原函数相同（其实就是把原函数上下平移了几格，切线斜率还是不变的）所以，加减常数不会影响导数。
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03 积分
接下来让我们看看我们的另一大主角——积分，先引入一个场景：求含有曲线的图形的面积。从小学我们就开始学习圆等含曲线图形的面积，但是对于圆以外的图形来说，如何求它们的面积变成了一大难题（阿基米德就曾经思考过这种问题），而解决这种难题的方式就是积分。
下面我们举一个例子：求x=0,x=1,y=0,y=x^2围成的图形的面积：（图形和四分之一圆不同）
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如何求这块图形的面积呢？我们可以用分割法来求解：把图形在0到1之间分成n等份，在0到1的n等分点A1,A2,……，An上做垂直于x轴的垂线与y=x^2交于B1,B2,……,Bn，再构造很多长方形，最后把所有长方形的面积加到一起就近似于这个图形的面积：
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S曲≈S1+S2+S3+S4.但是显然这些长方形的面积和与S还差很多，那就让我们进一步细分：
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此时S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8+S9就更加接近于S了，如果进一步细分，还会更加接近。当n趋近于无穷大时（即分的非常非常细时），所有长方形的面积和就可视作等于S.此时用数学方法进行演算就可得到S1+S2+...+Sn=1/3.（具体过程如下，看看就行）
S1+S2+...+Sn=1/n * (1/n)^2 + 1/n * (2/n)^2 + ... + 1/n * (n-1 / n)^2
=1/n * [ (1/n)^2 + ... + (n-1 / n)^2]
=1/ n^3 *[1^2+2^2+...+(n-1)^2]
=1/ n^3 * [n*(n-1)*(2n-1)/6] //用了开头的公式
=2 n^3 / 6 n^3 - 3 n^2 / 6 * n^3 + n/6 * n^3
=1/3- 1/2n + 1/6 n^2.
≈1/3 //因为n无限大，所以类似于 1/n 的式子都趋近于0
这就是用积分法求解含曲线图形的面积（当然应用也不只局限在这里，一些其他的问题也能用积分做）。为了方便，还诞生出了定积分的符号：
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然而微分和积分之间有什么关系呢？它们为什么最终会走到一起呢？
04 微积分
首先我们要回顾一下导数。在导数那里我们说过求导有一个逆运算，就是求原函数。
什么叫求原函数呢？比如我给你一个函数y=x^2，你现在可以很快说出它的导数是y'=2x，但如果我说一个函数的导函数是y'=2x，那你能很快求出这个函数（原函数）吗？恐怕不是这么容易。事实上这个函数是且仅是y=x^2+C（C是常数，不会影响导数）这一过程就是求导的逆运算——求原函数，也被称为不定积分。不定积分有什么意义呢？继续往下看。
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警报！！！物理来袭！！！
拿物理举一个例子。我们画一段运动的v-t图像：
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稍微用一点物理知识就可以得到，中间围起来的黑色部分面积就是物体运动的路程（准确说是位移）。对速度函数v(t)进行积分可以得到路程值s，对s(t)进行求导也可以得到v(t)，这就说明，对v(t)求原函数就可以得到路程值s！
此时，已知f(x)我们有两种方法可以求出F(x)：一种是求定积分（即之前算面积那一块的内容），一种是求原函数↑。根据这些，牛顿和莱布尼茨分别得出了同一个公式，也就是微积分基本定理（牛顿——莱布尼茨公式）：
函数f(x)在a到b之间连续（也就是没有下图这种情况，这里曲线在x=1处断掉了）
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且存在F(x)，则：
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我们可以验算一下前面的那个例子：用定积分做得出S=1/3，用不定积分做得出F=x^3 / 3 +C（不要问我为什么，问就是不定积分表），F(1)-F(0)=(1/3+C) - (0+C)=1/3.
这就是微积分的核心思想。正是有了这个公式，数学家们才得以借助它大杀四方。
注：整个微积分中用到了很多次“无穷小但不等于0”这个概念，它有些时候不能当作0（这样就可以作除数），有些时候可以当作0（加减法的时候就可以约掉），这个矛盾的现象要解释很麻烦（要用极限），而且很难理解，不符合我们普及知识的初衷，所以草稿先生就不写了（有更系统的文章具体讲解这一点）
微积分大概浅谈完毕，但大家有没有想一个问题，那就是我们为什么要学微积分，草稿先生为什么要花4个多小时写这篇3000多字的文章？出门买菜用不上，中考高考也不考（敢用就扣分）。但是草稿先生希望大家看完这篇文章之后，对数学能有一个新的认识：数学不仅仅有一堆枯燥的，看不懂的符号，也有壮观的逻辑之美。数学最令人着迷的就是它严密的逻辑。当数学家们发现求导和求原函数互为逆运算，牛顿和莱布尼茨发现微积分基本定理，无穷小的问题终于得到解决时，我相信，他们都是自豪且快乐的。大部分人无法忍受数学计算带给他们的痛苦，但那些真正喜欢数学的人，他们绝对能够看到数学的内在美和应用之广。
回到开头，到底是什么偶然事件让我发现了这本书。上个月月考草稿先生物理没考好，草稿妈站在书架前一边嘚嘚一边翻哪些物理题可以做，然而眼尖的草稿先生却看到这本《微积分初步》，物理于我而言不是云里就是雾里，哪有数学好玩，于是趁草稿妈不注意就把这本书带到了学校。最后我想说的是看在这篇3600多字的文章，她应该不会……，我保证我会好好学物理的，虽然压强浮力真的有点烦。
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